L'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt è un algoritmo che permette di ottenere un insieme di vettori ortonormali (cioè ortogonali tra di loro e con norma uguale a 1) a partire
da un generico insieme di vettori linearmente indipendenti. I vettori ottenuti formano una base per lo spazio vettoriale.
Il procedimento è così chiamato in onore del matematico danese Jørgen Pedersen Gram (1850-1916) e del matematico tedesco Erhard Schmidt (1876-1959); esso però è stato introdotto precedentemente ai loro studi e si trova in lavori di Laplace e Cauchy.
Per verificare che questo algoritmo produce una sequenza di vettori mutuamente ortogonali, per prima cosa calcoliamo il prodotto scalare fra e1 e e2: troveremo zero.
Successivamente teniamo conto di questo fatto per calcolare il prodotto scalare fra e1 ed e3: troveremo ancora zero.
La dimostrazione generale procede per induzione.
Un autovettore v di una trasformazione lineare A tra spazi vettoriali è un vettore la cui immagine è il vettore stesso
moltiplicato per uno scalare, detto autovalore λ. Vale quindi la proprietà λv = Av.
Quindi un autovettore è un vettore v≠0 che nella trasformazione viene moltiplicato per un fattore scalare λ.
Nello spazio cartesiano, questo equivale a dire che il vettore non cambia direzione. Può però cambiare verso se λ < 0.
Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico (A - λI), cioè le soluzioni dell'equazione (A - λI)=0.
Sostituendo le λ ottenute nel sistema (A - λI)v=0 è possibile calcolare infine i relativi autovettori ad essi associati.
Creato da Maurizio Gino Nolli con GeoGebra